GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi.  Hal ini disebabkan karena, matematika merupakan sarana berfikir untuk menumbuh kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis.

Matematika banyak berhubungan dengan ide-ide abstrak yang diberi simbol-simbol yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif sehingga belajar matematika merupakan kegiatan mental yang tinggi dan terkadang memerlukan waktu yang lama dan butuh kesabaran. Dalam belajar matematika, mempelajari konsep B yang mendasarkan konsep A,  seorang  siswa  perlu memahami terlebih dahulu konsep A. tanpa memahami konsep A, tidak mungkin orang memahami konsep B. ini berarti mempelajari matematika haruslah bertahap dan berurutan, serta berdasarkan kepada pengalaman belajar yang lalu Sehingga banyak siswa yang merasa kesulitan bahkan tidak senang belajar matematika.

Karena, kehierarkisan matematika itu, maka belajar matematika  yang terputusputus akan menggangu terjadinya proses belajar. Ini berarti proses belajar matematika akan terjadi dengan lancar bila belajar itu dilakukan secara kontinyu. Namun masih banyak diantara siswa kita mengalami kesulitan dalam belajar matematika, utamanya materi atau soal yang memerlukan penyelesaian yang rumit dan panjang, bahkan banyak diantara siswa yang terkadang malas mengerjakan soal yang demikian. Mereka hanya menunggu jawaban dari teman atau bahkan dari guru. Sikap masa bodoh untuk tidak peduli pada terhadap 2 kesulitan yang mereka alami sangat fatal pengaruhnya dan akibatnya bisa menjadi anggapan bahwa matematika adalah momok bagi mereka. Salah satu materi dalam pelajaran matematika yang terkadang tidak disenangi oleh siswa adalah persamaan  garis lurus, mengkhusus pada penentuan persamaan garis lurus yang salah satu titik atau gradien diketahui. Dalam materi ini siswa harus memahami beberapa materi yang ada sebelumya seperti gradient atau kemiringan garis sehingga menimbulkan kesulitan dari siswa.

Mengingat kesulitan yang dialami siswa tersebut maka dipandang perlu untuk melakukan perhatian yang lebih baik berbagai pihak untuk meningkatkan mutu hasil belajar matematika. Utamanya dari kalangan pendidik dalam hal ini seorang guru, karena gurulah  yang banyak atau yang paling dekat dengan siswa.

Usaha-usaha yang dilakukan kearah peningkatan hasil belajar diharapkan akan selalu ditingkatkan. Jangkauannya diperluas dan mencakup sasaran yang lebih mendasar seperti peningkatan keterampilan matematis, pengembangan penyelesaian masalah matematika, perbaikan cara belajar matematika, bamyak guru mulai menggunakan beberapa pendekatan  dalam pemecahan soal matematika agar siswa merasa senang dan mampu menyelesaikan soal yang diberikan dan lain-lain.

Oleh karena masalah tersebut kami akan mencoba memaparkan salah satu cara dalam menyelesaikan persamaan garis lurus yang salah satu titiknya diketahui yakni dengan menggunakan rumus jitu sehingga siswa tidak lagi merasa kesulitan dalam menyelesaikan materi persamaan  garis lurus. Mereka tidak lagi menganggap matematika sebagai momok atau pelajaran yang menakutkan. Dan diharapkan dengan cara ini siswa dapat merasa senang belajar matematika.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Pembalejaran Matematika

Secara umum Gagne Dan Briggs yang dikutip oleh Ismail (1998) mengatakan bahwa pembelajaran sebagai upaya orang yang tujuannnya adalah membantu orang belajar.dan secara lebih terinci  pembelajaran adalah seperangkat acara peristiwa eksternal yang dirancang untuk mendukung terjadinya beberapa proses belajar yang sifatnya internal. Corey yang dikutip oleh ismail (1998) bahwa  pembelajaran adalah suatu proses dimana lingkungan seseorang secara sengaja dikelola untuk memungkinkan ia turut serta dalam kondisi-kondisi khusus atau menghasilkan respon terhadap situasi tertentu.

Dalam kamus besar bahasa Indonesia kata pembelajaran adalah kata benda yang diartikan sebagai “proses, cara, menjadikan orang  atau makhluk hidup belajar” kata ini berasal dari kata kerja belajar yang artinya berusaha untuk memperoleh kepandaian atau ilmu, berubah tingkah laku atau tanggapan yang disebabkan oleh pengalaman.

Dari pengertian di atas menunjukkan bahwa pembelajaran berpusat pada kegiatan siswa belajar dan bukan pada berpusat pada kegiatan guru mengajar. Oleh karena itu pada hakikatnya pembelajaran matematika adalah proses yang sengaja dirancang dengan tujuan untuk menciptakan suasana lingkungan memungkinkan seseorang (sipelajar) melaksanakan kegiatan belajar matematika, dan proses tersebut berpusat pada guru mengajar matematika.  Pembelajaran matematika harus memberikan peluang kepada siswa untuk berusaha dan mencari pengalaman tentang matematika.

B. Pengertian Persamaan Garis Lurus

Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kami mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian berikut.  Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasanganberurutan  x  dan  y, di mana  x  merupakan koordinat sumbu-x  (disebut absis) dan  y  merupakan koordinat sumbu-y  (disebut  ordinat).  Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y).

Pada Gambar di bawah ini terlihat ada 3 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.

A (0,1), B (-2,1), C (2,-2)

Setelah  kita memahami bagaimana menggambar itik pada bidang koordinat kartesius, sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang yang sama.6 (2,2)

Dari penjelasan diatas dapat dibuat pengertian garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Terlihat pada 3 titik pada gambar di atas yakni (0,0), (1,1) dan (2,2)

C.   Menggambat Persamaan Garis Lurus

Apa yang kita ketahui tentang persamaan garis lurus? Pesamaan garis lurus adalah suatu persamaan ang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar garis lurus adalah menentukan nilai x dan y secara acak. Hanya dibutuhkan minimal dua titik untuk menggambar garis lurus. Misalkan kita akan menggambat garis x + y = 4.

Langkah pertama yang kita lakukan adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 4.n Misalkan x = 0 maka 0 + y = 4 maka y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat (0,4). x = 3 maka 3 + y = 4 maka y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3,1).

Kemudian dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus sebagai berikut :

o (3,1)7

D.   Pengertian Gradien

Pernahkah kita mendaki gunung? Jika ya, kita pasti akan menyusuri lereng gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien. Secara matematika Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan  suatu garis yang merupakan  perbandingan antara komponen  y  dan komponen  x.Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini  bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.

1. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

Gradien           = absis ordinat

M                     = x y

maka,   y          = mx

Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m  yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx. Untuk lebih jelasnya, pelajari lah Contoh berikut.8 Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.

a.  y = -2x

b.  y = 3x

Jawab :

a.       Persamaan garis y = -2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m =  2.

b.      Persamaan garis y = 3x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 3.

2.  Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c

Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis  y  =  mx, perhitungan gradien pada garis  y  =  mx  +  c  dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel  x.  Untuk lebih jelasnya,  mari kitaperhatikan contoh berikut

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.

a. y = 4x + 6

b. y = –5x – 8

Jawab :

a.       Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi,nilai m =4.

b.       Persamaan garis y = –5x –8sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilaim=–5.

3. Sifat-sifat gradien

·         Jika garis sejajar dengan sumbu-x maka nilai gradiennya adalah nol

·         Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka nilai garis tersebut tidak memiliki gradien.

·         Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

·         Hasil kali antara dua gradien dari garis yang yang saling tegak lurus adalah     -1.10

D. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (x1, y1) dengan Gradien m

Misalkan suatu garis mempunyai gradien  m  dan melalui sebuah titik (x1,  y1). Bentuk persamaan garis tersebut adalah y = mx + c. Untuk menentukan persamaan garis tersebut perhatikan langkah – langkah berikut.

(a) Substitusi titik (x1, y1) ke persamaan y = mx + c.

y = mx + c

y1 = mx1 + c

c = y1 – mx1

(b) Substitusi nilai c ke persamaan y = mx + c.

y = mx + c

y = mx + y1 – mx1

y – y1 = mx – mx1

y – y1 = m(x – x1)

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah

y – y1 =     m(x – x1).

E. Menyelesaikan contoh soal dengan Menggunakan Langkah Jitu

Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,5) dan memiliki

gradien -2

Penyelesaian :

a = -2,  b= 1, x1= 3 dan x2 = 5

Menggunakan rumus jitu : ax–by = a . x1–b. y1

-2x – y = -2 . 3 – 1. 5

-2x – y = -6 – 5

-2x – y = -11

2x + y = 11

Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,6) dan (4,-2)

Penyelesaian :

a = 2, b = 6, c = 4, d = -2 , p = 4 x 6 = 24, q = 2 x -2 = -4

2 8 28 0

2 8 24 ( 4)

2 6

4 2

= - +

- - + - =

ú

û

ù

ê

ë

é -

y x

y x

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan sejajar

terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….

Penyelesaian :

Diketahui a = 3, b = 5, c = 15, x1 = 2 dan y1 = 316

Menggunakan persamaan jitu : ax + by = a . x1 + b . y1

3x + 5y = 3 . 2 + 5 . 3

3x + 5y = 6 + 15

3x + 5y = 21

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan tegak

lurus terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah ….

Penyelesaian :

Diketahui a = 3, b = 5, c = 15, x1 = 2 dan y1 = 3

Menggunakan persamaan jitu : bx - ay = b . x1 + a . y1

5x - 3y = 5 . 2 + 3 . 3

5x - 3y = 10 + 9

5x - 3y = 1917

BAB III

PENUTUP

1. Kesimpulan

Rumus Jitu untuk menentukan persamaan garis lurus

·         ·  Persamaan garis melalui titik (a,b) dan (c,d) adalah dimana p = a x d dan q = b x c

·         Persamaan garis melalui titik (x1,y1) dan sejajar dengan garis ax + by = c. ax + by = a . x1 + b . y1

·         Persamaan garis melalui titik(x1,y1)dan tegak lurus dengan garis ax+by= c. bx - ay = b . x1 + a . y1

2. Saran

Kami dari penulis selalu menyarankan kepada semua guru agar kiranya selalu membantu siswa  untuk berbuat kreatif dalam meyelesaikan soal-soal yang ada. Sebaiknya mereka tidak hanya memepelajari rumus atau konsep yang ada pada buku yang mereka miliki, namun mereka diberi keleluasaan untuk menciptakan atau membuat ide dalam menemukan cara lain dalam menyelesaikan tugas yang ia peroleh.

Kami juga akan selalu terbuka kepada seluruh pembaca makalah ini agar selalu memberikan saran dan masukan demi kesempurnaan makalah ini agar kelak makalah ini mendekati sebuah kesempurnaan.

DAFTAR PUSTAKA

Anwar.  2008. Konsep Jitu Matematika SMP. Jakarta : Wahyu media

Budi rahayu. 2008. Contextual Teaching and Learning Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan DEPDIKNAS

Wagiyo. 2008. Pegangan Belajar Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan DEPDIKNAS2021